假设股票价格的变化服从以下运动方程(随机微分方程,SDE): \[ \begin{align} d S_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t, \end{align} \] 其中 \(dW_t\) 是一个(连续的)Brownian motion\(W_t \sim \mathcal{N} (0, t)\)。等价的,我们可以得到股票价格变化率: \[ \begin{align} d \ln S_t = \frac{ d S_t }{ S_t } = \mu dt + \sigma dW_t. \end{align} \]

下面我们来推导股票价格 \(S_t\) 的动态方程,这主要是使用著名的 Ito 公式。过于理论的东西我在这里不推导了,主要是利用一个简单的例子来说明如何使用 Ito 公式SDE 类问题。

Ito 公式求解

首先,令 \(Y_t = ln S_t\),由简单的偏微分求导得到 \[ \begin{align} \frac{ \partial Y }{ \partial t} &= 0 \\ \frac{ \partial Y }{ \partial S} &= \frac{ 1 }{ S } \\ \frac{ \partial^2 Y }{ \partial S^2} &= - \frac{ 1 }{ S^2 } \\ \end{align} \] 则根据 Ito 公式,我们可以推出以下方程 \[ \begin{align} d \ln S_t = d Y_t &= \frac{ \partial Y }{ \partial t} dt + \frac{ \partial Y }{ \partial S} dS_t + \frac{1}{2} \frac{ \partial^2 Y }{ \partial S^2} dS_t dS_t \nonumber\\ &= 0 · dt + \frac{ 1 }{ S_t } dS_t - \frac{1}{2} · \frac{ 1 }{ S_t^2 } dS_t dS_t \nonumber\\ &= \frac{ 1 }{ S_t } · S_t · (\mu dt + \sigma dW_t) - \frac{1}{2} · \frac{ 1 }{ S_t^2 } · \sigma^2 S_t^2 dt \nonumber\\ &= (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) dt + \sigma dW_t. \\ \end{align} \] 两边求积分,得到如下式子 \[ \begin{align} \int_{0}^{t} d \ln S_u = \int_{0}^{t} d Y_u &= \int_{0}^{t} (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) du + \int_{0}^{t} \sigma dW_u \\ \Rightarrow \ln S_t - \ln S_0 = Y_t - Y_0 &= (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \int_{0}^{t} \sigma dW_u. \end{align} \] 我们知道,Brownian Motion 表示在一定时间段内随机游走走过的路径,并且如果我们假定在初始阶段为 \(W(0)=0\),那么,上面等式的最后一项是 \[ \begin{align} \int_{0}^{t} \sigma dW_u &= \sigma (W_t - W_0 ) = \sigma W_t. \end{align} \]

因此,我们有 \[ \begin{align} \ln S_t - \ln S_0 = Y_t - Y_0 &= (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \sigma W_t \nonumber\\ \Rightarrow Y_t &= Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \sigma W_t \nonumber\\ \Rightarrow S_t &= S_0 · \exp\{ (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \sigma W_t \}. \end{align} \]

几何布朗运动

我们知道,对于任何一个正态分布做线性转换后依然服从正态分布。由于布朗运动 \(W_t \sim \mathcal{N} (0, t)\),则 \[ \begin{align} Y_t &= Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \sigma W_t \nonumber\\ \Rightarrow E[Y_t|Y_0] &= E[ Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \sigma W_t] \nonumber\\ &= Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \underbrace{E[\sigma W_t]}_{0} = Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t \\ \Rightarrow Var[Y_t|Y_0] &= Var [\sigma W_t] = \sigma^2 Var(Wt) = \sigma^2 ·t \nonumber\\ \Rightarrow Y_t &\sim \mathcal{N}( Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t, \sigma^2 t ) \label{gbm_norm} \end{align} \]

那么,\(\ln S_t = Y_t\) 则服从 正态分布,则 \(S_t = e^{Y_t}\)服从 log-normal disctribution,即 \(\ln S_t \sim \mathcal{N} (E[S_t], Var[S_t])\).

下面我们来推导 \(S_t\) 的分布特征。

Moment Generation Function

我们知道,对于对任何一个随机变量建模,往往需要假设该变量服从某一类随机过程,而这个随机过程由分布函数(distribution function)给定。可是,有些时候,我们并不一定需要知道整个分布函数的具体形式,而只是关注该随机变量的几个「统计特征」,如一阶矩、二阶矩等。下面要介绍的「矩条件生成函数」就针对这种情况提出的。随机变量的矩条件可以在 Moment Generation Function (MGF) 十分方便的推导出来。比如,对于正态分布,我们只需要知道一阶矩和二阶矩条件就可以对变量做统计推断(method of moment, MM,还有更一般的 GMM)。

对于一个可测空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\),随机变量 \(X \in \sigma(\mathcal{F})\) 的 MGF 定义为 \[ \begin{align} M_{X}(\tau) &= E[ e^{x\tau}] = \int_{\Omega} e^{x(\omega)\tau} dP(\omega) \end{align} \] 其任一 \(m-\) 阶的矩公式可以对 \(\tau\)\(\tau = 0\) 处求 \(m\) 次导数得到 \[ \begin{align} \frac{\partial M_{X}(\tau)}{\partial \tau}|_{\tau = 0} &= \frac{\partial}{\partial \tau} E[ e^{x\tau}] |_{\tau = 0} = E[ x · e^{x\tau}] |_{\tau = 0} \nonumber\\ &= E[x] \\ \frac{\partial ^2 M_{X}(\tau)}{\partial \tau ^2 }|_{\tau = 0} &= E[x^2] \\ \frac{\partial ^m M_{X}(\tau)}{\partial \tau ^m }|_{\tau = 0} &= E[x^m] \end{align} \] 特别的,对于一个正态分布,\(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\),有 \[ \begin{align} M_{X}(\tau) &= E[ e^{x\tau}] = \exp\{ \mu \tau + \frac{1}{2} \sigma^2 \tau^2 \} \end{align} \\ \]

期望与方差

这个特征对于求一个「对数正态分布」十分有用。由\(\eqref{gbm_norm}\) \[ \begin{align} Y_t &\sim \mathcal{N}( Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t, \sigma^2 t ) \end{align} \] 则其 MGF 为 \[ \begin{align} M_{Y}(\tau) &= E[e^{y\tau}] = \exp\{ \tilde{\mu} \tau + \frac{1}{2} \tilde{\sigma}^2 \tau^2 \}, \end{align} \] 其中,\(\tilde{\mu} = Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t\)\(\tilde{\sigma}^2= \sigma ^2 t\) .

因此,我们可以得到如下公式 \[ \begin{align} E[S^{\tau}] &= E[e^{y\tau}] = \exp\{ \tilde{\mu} \tau + \frac{1}{2} \tilde{\sigma}^2 \tau^2 \} \end{align} \]

即,期望可以表示为 \[ \begin{align} E[S_t] &= E[e^{y\tau}]|_{\tau = 1} = \exp\{ \tilde{\mu} + \frac{1}{2} \tilde{\sigma}^2 \} \nonumber\\ &= \exp\{ Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \frac{1}{2} \sigma^2 t \} \nonumber\\ &= S_0 · e^{\mu t } \\ \end{align} \]

\[ \begin{align} E[S^2] &= E[e^{y\tau}]|_{\tau = 2} = \exp\{ 2 \tilde{\mu} + 2 \tilde{\sigma}^2 \} \nonumber\\ &= \exp\{ 2 [Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t ] + 2 \sigma^2 t \} \nonumber\\ &= S_0^2 · \exp\{ 2 \mu t + \sigma^2 t\} \end{align} \]

因此,\(S_t\) 的方差可以表示为 \[ \begin{align} Var[S_t] &= E[S^2] - ( E[S] )^2 \nonumber\\ &= S_0^2 · \exp\{ 2 \mu t + \sigma^2 t\} - S_0^2 · \exp\{ 2 \mu t \} \nonumber\\ &= S_0^2 · e^{ 2 \mu t } · (e^{ \sigma^2 t - 1 }) \end{align} \]

O-U Process

其实,我们同样可是使用这种方法来解一类更加广义的随机过程——O-U过程。这个过程为 \[ \begin{align} d X(t) &= - \kappa (X(t) - \theta) d t + \sigma dW(t). \label{ou} \end{align} \] 在式子\(\eqref{ou}\)中,我们注意到参数 \((\kappa, \theta, \sigma)\) 决定了整个随机过程的特征:

  • \(\kappa\):是随机过程的「变化率」,即控制了整个随机过程向长期均值回归的快慢程度;
  • \(\theta\):代表了随机过程的「长期均值水平」,O-U 过程最显著的特征是其具有了「均值回复」,即在变化率 \(\kappa\) 的控制下变量趋于稳定的状态。这个在利率期限结构建模中经常使用,如最早的 Vasicek 利率模型就是一个典型的 O-U 过程。
  • \(\sigma\):表示随机过程的「瞬时方差」。

下面我们来求解显示解。

首先对方程\(\eqref{ou}\)在区域 \([0, t]\) 进行积分得到 \[ \begin{align} \int_{0}^{t} d X(u) &= -\int_{0}^{t} \kappa X(u) du + \int_{0}^{t} \kappa \theta du + \int_{0}^{t} \sigma dW(u), \end{align} \] 然后两边同时乘以 \(e^{\kappa u}\) 得到 \[ \begin{align} \int_{0}^{t} e^{\kappa u} d X(u) &= -\int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du + \int_{0}^{t} \kappa \theta e^{\kappa u} du + \int_{0}^{t} \sigma e^{\kappa u} dW(u). \label{ou-int} \end{align} \] 我们分开求解等式两边。

  • 先是对左边进行分步积分得到 \[ \begin{align} LHS &= e^{\kappa u} X(u) |_{u=0}^{t} - \int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du \nonumber \\ &= e^{\kappa t } X(t) - X(0) - \int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du . \label{lhs} \end{align} \]

  • 同样的,我们也可以求出右边式子 \[ \begin{align} RHS &= - \int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du + \int_{0}^{t} \theta de^{\kappa u} + \int_{0}^{t} \sigma e^{\kappa u} dW(u) \nonumber\\ &= - \int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du + \theta (e^{\kappa t} - 1) + \int_{0}^{t} \sigma e^{\kappa u} dW(u) \label{rhs} \end{align} \]

  • 对比\(\eqref{lhs}\)\(\eqref{rhs}\)\[ \begin{align} e^{\kappa t } X(t) - X(0) - \int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du &= -\int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du + \theta (e^{\kappa t} - 1) + \int_{0}^{t} \sigma e^{\kappa u} dW(u) \nonumber \\ e^{\kappa t } X(t) - X(0) &= \theta (e^{\kappa t} - 1) + \int_{0}^{t} \sigma e^{\kappa u} dW(u) \nonumber \\ \Rightarrow X(t) &= e^{-\kappa t} (X(0)-\theta) + \theta + \int_{0}^{t} \sigma e^{-\kappa (t-u)} dW(u) \label{oup} \\ \end{align} \]

期望

\(\eqref{oup}\)得到 \[ \begin{align} X(t) &= e^{-\kappa t} (X(0)-\theta) + \theta + \int_{0}^{t} \sigma e^{-\kappa (t-u)} dW(u) . \nonumber \end{align} \] 则其期望可以表示为 \[ \begin{align} E[X(t)|X(0)] &= E[ e^{-\kappa t} (X(0)-\theta) + \theta + \int_{0}^{t} \sigma e^{-\kappa (t-u)} dW(u) ] \nonumber \\ &= e^{-\kappa t} (X(0)-\theta) + \theta. \label{exp} \end{align} \] 最后一项由 \(W_t \sim \mathcal{N} (0, t)\) 得到。

利用\(\eqref{exp}\),我们可以求出 O-U 过程在长期的一个均值回复项,即 \[ \begin{align} \lim_{t \rightarrow + \infty } e^{-\kappa t} (X(0)-\theta) + \theta = \theta. \end{align} \]

协方差

任一区间内 \([s,t]\) 协方差可以由以下求出。 \[ \begin{align} cov(X_s, X_t) &= E[ (X_s-E[X_s])·(X_t-E[X_t])] \nonumber\\ &= \sigma^2 E\bigg[ \int_{0}^{s} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v) \bigg] \label{cov} \end{align} \]

这里我们需要使用到两个基本的概念

  • 布朗运动的「独立增量」(indepdent increasement),即任何一个布朗运动在不同期间内的增量是相互独立的,即对于区间 \([0,t], 0 \leq t_0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n \leq t\), \(W(t_1)-W(t_0)\), \(W(t_2)-W(t_1)\),\(\cdots\), \(W(t_n)-W(t_{n-1})\) 是相互独立的增量过程。

  • Ito Isometry 性质:即对于一个布朗运动的独立增量,\(dW_t\),有关其多项式有如下性质 \[ \begin{align} E\bigg[ \bigg( \int_{0}^{t} F(u) dW(u) \bigg)^2\bigg] &= \int_{0}^{t} E \big[ F^2(u) \big] du \end{align} \]

利用这两个性质,对于\(\eqref{cov}\),如果 \(s \geq t\) (反之,\(s \leq t\),则令二者调换,即 \(t=\min\{s,t\}\)),我们有 \[ \begin{align} cov(X_s, X_t) &= \sigma^2 E\bigg[ \bigg( \int_{0}^{t} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) + \int_{t}^{s} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) \bigg) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v) \bigg] \\ &= \sigma^2 E\bigg[ \int_{0}^{t} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v) \nonumber \\ & \qquad + \int_{t}^{s} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v) \bigg] \\ &= \sigma^2 \Bigg\{ E\bigg[ \int_{0}^{t} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v) \bigg] \nonumber \\ & \qquad + E\bigg[ \int_{t}^{s} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v) \bigg] \Bigg\}, \label{cov1} \\ \end{align} \]

  • 对于第一项我们需要使用 Ito Isometry 性质, \[ \begin{align} E\bigg[ \int_{0}^{t} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v) \bigg] &= E\bigg[ \int_{0}^{t} e^{-\kappa (s-u)} · e^{-\kappa (t-u)} du \bigg] \\ \end{align} \]

  • 而第二向可以由布朗运动的独立增量性质消除, \[ \begin{align} & E\bigg[ \int_{t}^{s} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v) \bigg] & \nonumber \\ =& E\bigg[ \int_{t}^{s} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) \bigg] · E\bigg[ \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v) \bigg] = 0 \end{align} \] 因此,方程\(\eqref{cov1}\)变为 \[ \begin{align} cov(X_s, X_t) &= \sigma^2 \Bigg\{ E\bigg[ \int_{0}^{t} e^{-\kappa (s-u)} · e^{-\kappa (t-u)} du \bigg] \Bigg\} \label{cov2} \\ &= \sigma^2 \Bigg\{ e^{-\kappa (s+t)} E\bigg[ \int_{0}^{t} e^{2\kappa u} du \bigg] \Bigg\} = \sigma^2 · e^{-\kappa (s+t)} · \frac{1}{2\kappa} · e^{2\kappa u}\bigg|_{u=0}^{t} \\ &= \frac{\sigma^2}{2\kappa} e^{-\kappa (s+t)} · \Bigg( e^{2\kappa t} -1 \Bigg). \end{align} \] 也就是说,对于任何一个协方差,我们都有 \[ \begin{align} cov(X_s, X_t) &= \frac{\sigma^2}{2\kappa} e^{-\kappa (s+t)} · \Bigg( e^{2\kappa · \min\{s,t\} } -1 \Bigg). \end{align} \]

方差

方差也就是0阶协方差, \[ \begin{align} Var(X_t) &= cov(X_t, X_t) = \frac{\sigma^2}{2\kappa} e^{-\kappa (t+t)} · \Bigg( e^{2\kappa · \min\{t,t\} } -1 \Bigg) \nonumber\\ &= \frac{\sigma^2}{2\kappa} \Bigg( 1 - e^{ -2\kappa t } \Bigg) \end{align} \]