庖丁解牛之 Ito 公式
william 收录于 Quant股票价格建模
假设股票价格的变化服从以下运动方程（随机微分方程，SDE）：
$$
\begin{align}
d S_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t,
\end{align}
$$
其中 \(dW_t\) 是一个（连续的）Brownian motion，$W_t \sim \mathcal{N} (0, t)$。等价的，我们可以得到股票价格变化率：
$$
\begin{align}
d \ln S_t = \frac{ d S_t }{ S_t } = \mu dt + \sigma dW_t.
\end{align}
$$
下面我们来推导股票价格 \(S_t\) 的动态方程，这主要是使用著名的 Ito 公式。过于理论的东西我在这里不推导了，主要是利用一个简单的例子来说明如何使用 Ito 公式 解 SDE 类问题。
Ito 公式求解
首先，令 \(Y_t = ln S_t\)，由简单的偏微分求导得到
$$
\begin{align}
\frac{ \partial Y }{ \partial t} &= 0 \
\frac{ \partial Y }{ \partial S} &= \frac{ 1 }{ S } \
\frac{ \partial^2 Y }{ \partial S^2} &= - \frac{ 1 }{ S^2 } \
\end{align}
$$
则根据 Ito 公式，我们可以推出以下方程
$$
\begin{align}
d \ln S_t = d Y_t
&= \frac{ \partial Y }{ \partial t} dt + \frac{ \partial Y }{ \partial S} dS_t + \frac{1}{2} \frac{ \partial^2 Y }{ \partial S^2} dS_t dS_t \nonumber\
&= 0 · dt + \frac{ 1 }{ S_t } dS_t - \frac{1}{2} · \frac{ 1 }{ S_t^2 } dS_t dS_t \nonumber\
&= \frac{ 1 }{ S_t } · S_t · (\mu dt + \sigma dW_t) - \frac{1}{2} · \frac{ 1 }{ S_t^2 } · \sigma^2 S_t^2 dt
\nonumber\
&= (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) dt + \sigma dW_t. \
\end{align}
$$
两边求积分，得到如下式子
$$
\begin{align}
\int_{0}^{t} d \ln S_u = \int_{0}^{t} d Y_u
&= \int_{0}^{t} (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) du + \int_{0}^{t} \sigma dW_u \
\Rightarrow \ln S_t - \ln S_0 = Y_t - Y_0 &= (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \int_{0}^{t} \sigma dW_u.
\end{align}
$$
我们知道，Brownian Motion 表示在一定时间段内随机游走走过的路径，并且如果我们假定在初始阶段为 \(W(0)=0\)，那么，上面等式的最后一项是
$$
\begin{align}
\int_{0}^{t} \sigma dW_u &= \sigma (W_t - W_0 ) = \sigma W_t.
\end{align}
$$
因此，我们有 $$ \begin{align} \ln S_t - \ln S_0 = Y_t - Y_0 &= (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \sigma W_t \nonumber\ \Rightarrow Y_t &= Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \sigma W_t \nonumber\ \Rightarrow S_t &= S_0 · \exp{ (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \sigma W_t }. \end{align} $$
几何布朗运动
我们知道，对于任何一个正态分布做线性转换后依然服从正态分布。由于布朗运动 \(W_t \sim \mathcal{N} (0, t)\)，则
$$
\begin{align}
Y_t &= Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \sigma W_t \nonumber\
\Rightarrow E[Y_t|Y_0] &= E[ Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \sigma W_t] \nonumber\
&= Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \underbrace{E[\sigma W_t]}_{0} = Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t \
\Rightarrow Var[Y_t|Y_0] &= Var [\sigma W_t] = \sigma^2 Var(Wt) = \sigma^2 ·t \nonumber\
\Rightarrow Y_t &\sim \mathcal{N}( Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t, \sigma^2 t ) \label{gbm_norm}
\end{align}
$$
那么，$\ln S_t = Y_t$ 则服从 正态分布，则 \(S_t = e^{Y_t}\)服从 log-normal disctribution，即 \(\ln S_t \sim \mathcal{N} (E[S_t], Var[S_t])\).
下面我们来推导 \(S_t\) 的分布特征。
Moment Generation Function
我们知道，对于对任何一个随机变量建模，往往需要假设该变量服从某一类随机过程，而这个随机过程由分布函数（distribution function）给定。可是，有些时候，我们并不一定需要知道整个分布函数的具体形式，而只是关注该随机变量的几个「统计特征」，如一阶矩、二阶矩等。下面要介绍的「矩条件生成函数」就针对这种情况提出的。随机变量的矩条件可以在 Moment Generation Function (MGF) 十分方便的推导出来。比如，对于正态分布，我们只需要知道一阶矩和二阶矩条件就可以对变量做统计推断（method of moment, MM，还有更一般的 GMM）。
对于一个可测空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\)，随机变量 \(X \in \sigma(\mathcal{F})\) 的 MGF 定义为
$$
\begin{align}
M_{X}(\tau) &= E[ e^{x\tau}] = \int_{\Omega} e^{x(\omega)\tau} dP(\omega)
\end{align}
$$
其任一 \(m-\) 阶的矩公式可以对 \(\tau\) 在 \(\tau = 0\) 处求 \(m\) 次导数得到
$$
\begin{align}
\frac{\partial M_{X}(\tau)}{\partial \tau}|{\tau = 0}
&= \frac{\partial}{\partial \tau} E[ e^{x\tau}] |{\tau = 0}
= E[ x · e^{x\tau}] |{\tau = 0} \nonumber\
&= E[x] \
\frac{\partial ^2 M{X}(\tau)}{\partial \tau ^2 }|{\tau = 0}
&= E[x^2] \
\frac{\partial ^m M{X}(\tau)}{\partial \tau ^m }|{\tau = 0}
&= E[x^m]
\end{align}
$$
特别的，对于一个正态分布，$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$，有
$$
\begin{align}
M{X}(\tau) &= E[ e^{x\tau}] = \exp{ \mu \tau + \frac{1}{2} \sigma^2 \tau^2 }
\end{align} \
$$
期望与方差
这个特征对于求一个「对数正态分布」十分有用。由$\eqref{gbm_norm}$ $$ \begin{align} Y_t &\sim \mathcal{N}( Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t, \sigma^2 t ) \end{align} $$ 则其 MGF 为 $$ \begin{align} M_{Y}(\tau) &= E[e^{y\tau}] = \exp{ \tilde{\mu} \tau + \frac{1}{2} \tilde{\sigma}^2 \tau^2 }, \end{align} $$ 其中，$\tilde{\mu} = Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t$，$\tilde{\sigma}^2= \sigma ^2 t$ .
因此，我们可以得到如下公式 $$ \begin{align} E[S^{\tau}] &= E[e^{y\tau}] = \exp{ \tilde{\mu} \tau + \frac{1}{2} \tilde{\sigma}^2 \tau^2 } \end{align} $$
即，期望可以表示为 $$ \begin{align} E[S_t] &= E[e^{y\tau}]|_{\tau = 1} = \exp{ \tilde{\mu} + \frac{1}{2} \tilde{\sigma}^2 } \nonumber\ &= \exp{ Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \frac{1}{2} \sigma^2 t } \nonumber\ &= S_0 · e^{\mu t } \ \end{align} $$
$$ \begin{align} E[S^2] &= E[e^{y\tau}]|_{\tau = 2} = \exp{ 2 \tilde{\mu} + 2 \tilde{\sigma}^2 } \nonumber\ &= \exp{ 2 [Y_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t ] + 2 \sigma^2 t } \nonumber\ &= S_0^2 · \exp{ 2 \mu t + \sigma^2 t} \end{align} $$
因此，$S_t$ 的方差可以表示为 $$ \begin{align} Var[S_t] &= E[S^2] - ( E[S] )^2 \nonumber\ &= S_0^2 · \exp{ 2 \mu t + \sigma^2 t} - S_0^2 · \exp{ 2 \mu t } \nonumber\ &= S_0^2 · e^{ 2 \mu t } · (e^{ \sigma^2 t - 1 }) \end{align} $$
O-U Process
其实，我们同样可是使用这种方法来解一类更加广义的随机过程——O-U过程。这个过程为
$$
\begin{align}
d X(t) &= - \kappa (X(t) - \theta) d t + \sigma dW(t). \label{ou}
\end{align}
$$
在式子$\eqref{ou}$中，我们注意到参数 \((\kappa, \theta, \sigma)\) 决定了整个随机过程的特征：
\(\kappa\)：是随机过程的「变化率」，即控制了整个随机过程向长期均值回归的快慢程度;\(\theta\)：代表了随机过程的「长期均值水平」，O-U 过程最显著的特征是其具有了「均值回复」，即在变化率\(\kappa\)的控制下变量趋于稳定的状态。这个在利率期限结构建模中经常使用，如最早的 Vasicek 利率模型就是一个典型的 O-U 过程。\(\sigma\)：表示随机过程的「瞬时方差」。
下面我们来求解显示解。
首先对方程$\eqref{ou}$在区域 \([0, t]\) 进行积分得到
$$
\begin{align}
\int_{0}^{t} d X(u) &= -\int_{0}^{t} \kappa X(u) du + \int_{0}^{t} \kappa \theta du + \int_{0}^{t} \sigma dW(u),
\end{align}
$$
然后两边同时乘以 \(e^{\kappa u}\) 得到
$$
\begin{align}
\int_{0}^{t} e^{\kappa u} d X(u) &= -\int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du + \int_{0}^{t} \kappa \theta e^{\kappa u} du + \int_{0}^{t} \sigma e^{\kappa u} dW(u). \label{ou-int}
\end{align}
$$
我们分开求解等式两边。
-
先是对左边进行分步积分得到 $$ \begin{align} LHS &= e^{\kappa u} X(u) |{u=0}^{t} - \int{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du \nonumber \ &= e^{\kappa t } X(t) - X(0) - \int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du . \label{lhs} \end{align} $$
-
同样的，我们也可以求出右边式子 $$ \begin{align} RHS &= - \int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du + \int_{0}^{t} \theta de^{\kappa u} + \int_{0}^{t} \sigma e^{\kappa u} dW(u) \nonumber\ &= - \int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du + \theta (e^{\kappa t} - 1) + \int_{0}^{t} \sigma e^{\kappa u} dW(u) \label{rhs} \end{align} $$
-
对比$\eqref{lhs}$与$\eqref{rhs}$， $$ \begin{align} e^{\kappa t } X(t) - X(0) - \int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du &= -\int_{0}^{t} \kappa X(u) e^{\kappa u} du + \theta (e^{\kappa t} - 1) + \int_{0}^{t} \sigma e^{\kappa u} dW(u) \nonumber \ e^{\kappa t } X(t) - X(0) &= \theta (e^{\kappa t} - 1) + \int_{0}^{t} \sigma e^{\kappa u} dW(u) \nonumber \ \Rightarrow X(t) &= e^{-\kappa t} (X(0)-\theta) + \theta + \int_{0}^{t} \sigma e^{-\kappa (t-u)} dW(u) \label{oup} \ \end{align} $$
期望
由$\eqref{oup}$得到
$$
\begin{align}
X(t) &= e^{-\kappa t} (X(0)-\theta) + \theta + \int_{0}^{t} \sigma e^{-\kappa (t-u)} dW(u) . \nonumber
\end{align}
$$
则其期望可以表示为
$$
\begin{align}
E[X(t)|X(0)] &= E[ e^{-\kappa t} (X(0)-\theta) + \theta + \int_{0}^{t} \sigma e^{-\kappa (t-u)} dW(u) ] \nonumber \
&= e^{-\kappa t} (X(0)-\theta) + \theta. \label{exp}
\end{align}
$$
最后一项由 \(W_t \sim \mathcal{N} (0, t)\) 得到。
利用$\eqref{exp}$，我们可以求出 O-U 过程在长期的一个均值回复项，即 $$ \begin{align} \lim_{t \rightarrow + \infty } e^{-\kappa t} (X(0)-\theta) + \theta = \theta. \end{align} $$
协方差
任一区间内 \([s,t]\) 协方差可以由以下求出。
$$
\begin{align}
cov(X_s, X_t)
&= E[ (X_s-E[X_s])·(X_t-E[X_t])] \nonumber\
&= \sigma^2 E\bigg[
\int_{0}^{s} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) ·
\int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v)
\bigg] \label{cov}
\end{align}
$$
这里我们需要使用到两个基本的概念
-
布朗运动的「独立增量」(indepdent increasement)，即任何一个布朗运动在不同期间内的增量是相互独立的，即对于区间
\([0,t], 0 \leq t_0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n \leq t\),\(W(t_1)-W(t_0)\),\(W(t_2)-W(t_1)\),$\cdots$,\(W(t_n)-W(t_{n-1})\)是相互独立的增量过程。 -
Ito Isometry 性质：即对于一个布朗运动的独立增量，$dW_t$，有关其多项式有如下性质 $$ \begin{align} E\bigg[ \bigg( \int_{0}^{t} F(u) dW(u) \bigg)^2\bigg] &= \int_{0}^{t} E \big[ F^2(u) \big] du \end{align} $$
利用这两个性质，对于$\eqref{cov}$，如果 \(s \geq t\) (反之，$s \leq t$，则令二者调换，即 \(t=\min\{s,t\}\))，我们有
$$
\begin{align}
cov(X_s, X_t)
&= \sigma^2
E\bigg[
\bigg( \int_{0}^{t} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) + \int_{t}^{s} e^{-\kappa (s-u)} dW(u)
\bigg)
·
\int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v)
\bigg] \
&= \sigma^2
E\bigg[
\int_{0}^{t} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v)
\nonumber \
& \qquad + \int_{t}^{s} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v)
\bigg] \
&= \sigma^2 \Bigg{
E\bigg[
\int_{0}^{t} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v)
\bigg]
\nonumber \
& \qquad + E\bigg[
\int_{t}^{s} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v)
\bigg]
\Bigg}， \label{cov1} \
\end{align}
$$
-
对于第一项我们需要使用 Ito Isometry 性质, $$ \begin{align} E\bigg[ \int_{0}^{t} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v) \bigg] &= E\bigg[ \int_{0}^{t} e^{-\kappa (s-u)} · e^{-\kappa (t-u)} du \bigg] \ \end{align} $$
-
而第二向可以由布朗运动的独立增量性质消除， $$ \begin{align} & E\bigg[ \int_{t}^{s} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) · \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v) \bigg] & \nonumber \ =& E\bigg[ \int_{t}^{s} e^{-\kappa (s-u)} dW(u) \bigg] · E\bigg[ \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-v)} dW(v) \bigg] = 0 \end{align} $$ 因此，方程$\eqref{cov1}$变为 $$ \begin{align} cov(X_s, X_t) &= \sigma^2 \Bigg{ E\bigg[ \int_{0}^{t} e^{-\kappa (s-u)} · e^{-\kappa (t-u)} du \bigg] \Bigg} \label{cov2} \ &= \sigma^2 \Bigg{ e^{-\kappa (s+t)} E\bigg[ \int_{0}^{t} e^{2\kappa u} du \bigg] \Bigg} = \sigma^2 · e^{-\kappa (s+t)} · \frac{1}{2\kappa} · e^{2\kappa u}\bigg|_{u=0}^{t} \ &= \frac{\sigma^2}{2\kappa} e^{-\kappa (s+t)} · \Bigg( e^{2\kappa t} -1 \Bigg). \end{align} $$ 也就是说，对于任何一个协方差，我们都有 $$ \begin{align} cov(X_s, X_t) &= \frac{\sigma^2}{2\kappa} e^{-\kappa (s+t)} · \Bigg( e^{2\kappa · \min{s,t} } -1 \Bigg). \end{align} $$
方差
方差也就是0阶协方差， $$ \begin{align} Var(X_t) &= cov(X_t, X_t) = \frac{\sigma^2}{2\kappa} e^{-\kappa (t+t)} · \Bigg( e^{2\kappa · \min{t,t} } -1 \Bigg) \nonumber\ &= \frac{\sigma^2}{2\kappa} \Bigg( 1 - e^{ -2\kappa t } \Bigg) \end{align} $$
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